对勾函数（Hook Function）
对勾函数：优雅的极值模型
对勾函数 f(x) = x + a/x 因其图像形似对勾"✓"而得名，是高中数学和大学微积分中的经典函数。 它完美地体现了均值不等式的应用，在最优化问题、经济模型、物理现象等领域有广泛应用。
f(x) = x + a/x
当 a > 0, x > 0 时，在 x = √a 处取得最小值 2√a
均值不等式应用
x + a/x ≥ 2√(x · a/x) = 2√a
定义与特点
标准形式
f(x) = x + a/x
其中 a 为常数，x ≠ 0
推广形式
f(x) = ax + b/x
f(x) = ax² + b/x²
f(x) = x + a/x + c
图形特征
- • 关于原点对称（奇函数）
- • 有两个分支（x>0 和 x<0）
- • 形似对勾"✓"
- • 有垂直渐近线 x=0
- • 有斜渐近线 y=x
核心性质
- • 在每个分支上先减后增
- • 有两个极值点
- • 极值由均值不等式确定
- • 广泛应用于优化问题
对勾函数可视化
-303
函数定义
f(x) = x + 1/x
最小值点
x = 1.000
min = 2.000
单调性
↘ (-∞, -√a)
↗ (√a, +∞)
函数图像
导数法求极值
步骤1：求一阶导数
f(x) = x + a/x
f'(x) = 1 - a/x² = (x² - a)/x²
步骤2：求驻点
令 f'(x) = 0
(x² - a)/x² = 0
⟹ x² - a = 0
⟹ x = ±√a （a > 0时）
步骤3：判断极值性质
方法1：二阶导数判别法
f''(x) = 2a/x³
当 x = √a > 0 时，f''(√a) = 2a/(√a)³ = 2√a/a > 0 → 极小值
当 x = -√a < 0 时，f''(-√a) = 2a/(-√a)³ = -2√a/a < 0 → 极大值
方法2：一阶导数符号判别
• x ∈ (0, √a)：f'(x) < 0，函数递减
• x ∈ (√a, +∞)：f'(x) > 0，函数递增
• 所以 x = √a 是极小值点
步骤4：计算极值
f(√a) = √a + a/√a = √a + √a = 2√a
f(-√a) = -√a + a/(-√a) = -√a - √a = -2√a
📚 结论
当 a > 0 时：
- x = √a 处取得极小值（最小值）2√a
- x = -√a 处取得极大值（最大值）-2√a
单调性：
- (-∞, -√a) 上递减
- (-√a, 0) 上递增
- (0, √a) 上递减
- (√a, +∞) 上递增
重要性质
📍
定义域
x ∈ (-∞, 0) ∪ (0, +∞)
函数在x=0处无定义，因为分母不能为0
📊
值域
a>0时：y ∈ (-∞, -2√a] ∪ [2√a, +∞)
函数有最小值2√a和最大值-2√a，中间区间无法取到
⚖️
奇偶性
f(-x) = -x + a/(-x) = -(x + a/x) = -f(x)
对勾函数是奇函数，图像关于原点对称
📈
单调性(a>0)
(-∞, -√a)递减，(-√a, 0)递增
(0, √a)递减，(√a, +∞)递增
在两侧各有一个递减区间和一个递增区间
〰️
渐近线
垂直渐近线：x = 0
斜渐近线：y = x
当x→0时，y→∞；当x→∞时，a/x→0，y→x
🎯
极值点
a>0时：x=√a最小值2√a，x=-√a最大值-2√a
使用均值不等式或求导可得极值点
∂
导数
f'(x) = 1 - a/x² = (x² - a)/x²
令f'(x)=0得x²=a，即x=±√a为驻点
∂∂
二阶导数
f''(x) = 2a/x³
x>0时f''(x)>0为凹函数，x<0时f''(x)<0为凸函数
实际应用案例
🎯
最优化问题
用200米栅栏沿一堵墙围成一个矩形菜园，如何使面积最大？
📝 问题建模
设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为(200-2x)米
🔍 建立函数
面积 S = x(200-2x) = 200x - 2x²
📊 函数变换
求导：S'(x) = 200 - 4x = 0，得 x = 50
🎯 应用对勾函数
或用对勾函数：周长固定时，接近正方形面积最大
✅ 最终答案
x = 50米时，面积最大为 50×100 = 5000 m²
💡 深度洞察
在约束条件下求极值，对勾函数思想广泛应用于资源优化配置。
💡 解题技巧与方法
✅ 常用方法
1. 均值不等式法
x + a/x ≥ 2√a，等号成立条件 x = a/x
优点：计算简单，适用于求最值
2. 导数法
f'(x) = 1 - a/x² = 0，求驻点
优点：严格，可判断单调性
3. 换元法
令 t = x 或 t = x²，转化为二次函数
优点：化繁为简，便于理解
4. 数形结合
画出函数图像，直观判断性质
优点：直观，帮助理解
❌ 常见错误
忽略定义域
x ≠ 0，且使用均值不等式时要保证 x 和 a/x 同号
等号条件未验证
使用均值不等式后必须验证 x = a/x 是否在定义域内
符号错误
a < 0 时，不等号方向改变，极值变为极大值
区间未分类讨论
x>0 和 x<0 要分别讨论，不能混为一谈
📚 经典例题
例1：求 f(x) = x + 4/x (x>0) 的最小值
解法1（均值不等式）：
f(x) = x + 4/x ≥ 2√(x · 4/x) = 2√4 = 4
等号成立 ⟺ x = 4/x ⟺ x = 2
答：最小值为 4，在 x=2 处取得
例2：求 f(x) = 2x + 8/x (x>0) 的最小值
解：
f(x) = 2x + 8/x = 2(x + 4/x) ≥ 2 · 2√4 = 8
等号成立 ⟺ x = 4/x ⟺ x = 2
答：最小值为 8，在 x=2 处取得
例3：已知 x>1，求 f(x) = x + 1/(x-1) 的最小值
解：令 t = x-1 > 0，则 x = t+1
f(x) = (t+1) + 1/t = t + 1/t + 1
t + 1/t ≥ 2√(t · 1/t) = 2，等号成立于 t=1
所以 f(x) ≥ 2 + 1 = 3
答：最小值为 3，在 x=2 处取得