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一元二次不等式深度探索
📊
一元二次不等式理论基础
定义
一元二次不等式是形如 ax² + bx + c > 0（或 <, ≥, ≤）的不等式， 其中 a ≠ 0。解一元二次不等式就是求使不等式成立的 x 的取值范围。
核心思想
图像法原理
通过观察二次函数 f(x) = ax² + bx + c 的图像与 x 轴的位置关系， 确定函数值的正负性，从而求出不等式的解集。
代数法原理
利用二次函数的根和开口方向，通过穿根法或因式分解， 分析各区间内函数值的符号变化规律。
判别式的作用
1
Δ > 0 (两个不同实根)
抛物线与 x 轴有两个交点，函数值在根的两侧变号
2
Δ = 0 (一个重根)
抛物线与 x 轴相切，函数值除了切点外都与 a 同号
3
Δ < 0 (无实根)
抛物线不与 x 轴相交，函数值恒与 a 同号
解题口诀
“大于取两边，小于取中间”
当开口向上（a > 0）时：
• f(x) > 0 的解在两根外侧（“大于取两边”）
• f(x) < 0 的解在两根之间（“小于取中间”）