均值不等式
均值不等式：数学中的优美定理
均值不等式是数学中最重要和优美的不等式之一，它揭示了不同平均数之间的大小关系。 这个看似简单的不等式，在数学、物理、工程、经济等众多领域都有广泛应用。
对于正数 a 和 b：
HM ≤ GM ≤ AM ≤ QM
调和平均 ≤ 几何平均 ≤ 算术平均 ≤ 平方平均
核心公式
基础形式（两数）
(a + b) / 2 ≥ √(ab)
等号成立当且仅当 a = b
推广形式（n数）
(a₁+a₂+...+aₙ)/n ≥ ⁿ√(a₁·a₂·...·aₙ)
等号成立当且仅当 a₁ = a₂ = ... = aₙ
常用变形
a + b ≥ 2√(ab)
ab ≤ [(a+b)/2]²
a² + b² ≥ 2ab
重要应用
x + 1/x ≥ 2 (x>0)
(a+b)(1/a+1/b) ≥ 4
a/b + b/a ≥ 2
均值不等式可视化
调和平均数 (HM)
5.538
2/(1/a + 1/b)
几何平均数 (GM)
6.000
√(ab)
算术平均数 (AM)
6.500
(a + b)/2
平方平均数 (QM)
6.964
√[(a² + b²)/2]
HM≤GM≤AM≤QM
5.538 ≤ 6.000 ≤ 6.500 ≤ 6.964
均值大小对比
多种证明方法
📐代数证明（配方法）
1
从平方差开始
要证明 (a+b)/2 ≥ √(ab)，即证 (a+b)² ≥ 4ab
2
展开左边
(a+b)² = a² + 2ab + b²
3
移项整理
a² + 2ab + b² ≥ 4ab ⇒ a² - 2ab + b² ≥ 0
4
配方
(a - b)² ≥ 0
5
结论
因为任意实数的平方非负，所以不等式成立 等号成立 ⟺ a = b
实际应用案例
🎯
最优化问题
用200米栅栏围成矩形花园，如何使面积最大？
📝 问题建模
设长为a，宽为b，则周长 2(a+b) = 200，即 a+b = 100
🔍 应用均值不等式
由均值不等式：√(ab) ≤ (a+b)/2 = 50
📊 推导结果
两边平方得：ab ≤ 2500
✅ 得出结论
当 a = b = 50 时，面积最大为 2500 平方米
🎯 最终答案
正方形时面积最大：50×50 = 2500 m²
💡 深度洞察
周长一定时，正方形面积最大；面积一定时，正方形周长最小。
均值不等式的推广
n个正数的均值不等式
HM ≤ GM ≤ AM ≤ QM
调和平均数 (HM)：
n / (1/a₁ + 1/a₂ + ... + 1/aₙ)
几何平均数 (GM)：
ⁿ√(a₁ · a₂ · ... · aₙ)
算术平均数 (AM)：
(a₁ + a₂ + ... + aₙ) / n
平方平均数 (QM)：
√[(a₁² + a₂² + ... + aₙ²) / n]
加权均值不等式
权重 w₁, w₂, ..., wₙ（w₁+w₂+...+wₙ=1）
加权算术平均：
w₁a₁ + w₂a₂ + ... + wₙaₙ
加权几何平均：
a₁^w₁ · a₂^w₂ · ... · aₙ^wₙ
关系：
加权GM ≤ 加权AM
等号成立 ⟺ 所有aᵢ相等
幂平均不等式（Hölder平均）
r次幂平均：
M_r = [(a₁ʳ + a₂ʳ + ... + aₙʳ) / n]^(1/r)
r → -∞： min(a₁, a₂, ..., aₙ)
r = -1： 调和平均 (HM)
r → 0： 几何平均 (GM)
r = 1： 算术平均 (AM)
r = 2： 平方平均 (QM)
r → +∞： max(a₁, a₂, ..., aₙ)
一般性质：
r₁ < r₂ ⟹ M_r₁ ≤ M_r₂
相关重要不等式
柯西-施瓦茨不等式：
(a₁b₁+a₂b₂+...+aₙbₙ)² ≤ (a₁²+a₂²+...+aₙ²)(b₁²+b₂²+...+bₙ²)
切比雪夫不等式：
若a₁≤a₂≤...≤aₙ且b₁≤b₂≤...≤bₙ
则(a₁b₁+...+aₙbₙ)/n ≥ [(a₁+...+aₙ)/n][(b₁+...+bₙ)/n]
则(a₁b₁+...+aₙbₙ)/n ≥ [(a₁+...+aₙ)/n][(b₁+...+bₙ)/n]
排序不等式：
反序和 ≤ 乱序和 ≤ 顺序和
杨格不等式：
ab ≤ aᵖ/p + bᵍ/q (1/p + 1/q = 1)
💡 解题技巧与注意事项
✅ 使用技巧
- • 配凑定值：创造"和为定值"或"积为定值"条件
- • 1的妙用：将已知条件转化为1，便于构造不等式
- • 局部使用：对部分项使用均值不等式
- • 多次使用：分组后对每组使用，然后再次使用
- • 等号条件：必须验证等号成立的条件是否可达
- • 反向应用：有时需要从结论反推条件
❌ 常见错误
- • 忘记前提：只对正数成立，注意定义域
- • 等号检验：使用不等式后必须验证等号条件
- • 多次使用：等号条件可能不一致，导致无解
- • 方向错误：求最小值用≥，求最大值用≤
- • 盲目展开：有时保持积的形式更有利
- • 过度使用：能直接求导时，不必绕弯用不等式
📚 经典例题
例1：已知 x>0，求 y = x + 1/x 的最小值
解：由均值不等式 x + 1/x ≥ 2√(x · 1/x) = 2
当且仅当 x = 1/x，即 x = 1 时等号成立
答：最小值为 2
例2：已知 x+y=1 (x,y>0)，求 1/x + 1/y 的最小值
解：1/x + 1/y = (1/x + 1/y)(x+y) = 2 + y/x + x/y
由均值不等式 y/x + x/y ≥ 2√(y/x · x/y) = 2
所以 1/x + 1/y ≥ 4，当 x=y=1/2 时等号成立
答：最小值为 4
例3：已知 a,b,c>0 且 a+b+c=3，证明 a²+b²+c²≥3
证明：由柯西不等式或平方平均≥算术平均
√[(a²+b²+c²)/3] ≥ (a+b+c)/3 = 1
平方得 (a²+b²+c²)/3 ≥ 1
即 a²+b²+c² ≥ 3，当 a=b=c=1 时等号成立