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概率探索

古典概率：从随机到确定

古典概率（Classical Probability）是概率论的基础，适用于样本空间有限且每个基本事件等可能发生的情况。 本页面通过交互式工具，深入探索随机取数、摸球、球盒分配等经典问题，帮助理解概率计算的本质。

古典概型三要素
🎲
有限性
样本空间包含有限个基本事件
⚖️
等可能性
每个基本事件发生的可能性相同
📐
计算公式
P(A) = n(A) / n(Ω)

随机取数问题

问题描述

从 1 到 10 这 10 个整数中随机抽取一个数，求满足特定条件的概率。

样本空间
10
有利结果
3
概率
30.00%
3/10

古典概型公式

P(A) = n(A) / n(Ω)
• n(Ω)：样本空间中基本事件总数 = 10
• n(A)：事件 A 包含的基本事件数 = 3
• P(A)：事件 A 的概率 = 3/10 = 30.00%

摸球问题

问题描述

袋中有 5 个红球和 3 个蓝球，无放回地随机抽取 2 个球， 求满足特定条件的概率。

总球数
8
总方法数
28
有利方法数
10
概率
35.71%
10 / 28

计算方法

无放回抽取（不允许重复）
• 总方法数：C(8, 2) = 28
• 组合问题，顺序无关

球盒问题（分房问题）

问题描述

将 4 个球放入 3 个盒子中，球和盒子都可区分，允许空盒，共有多少种放法？

总方法数
81
每个球都可以放入 3 个盒子中任意一个，共有 3^4 = 81 种方法

四种经典情形

① 球可区分，盒可区分
允许空盒：n^m
不允许空盒：S(n,m) × m!（第二类斯特林数）
② 球可区分，盒不可区分
允许空盒：Bell数的部分和
不允许空盒：S(n,m)（第二类斯特林数）
③ 球不可区分，盒可区分
允许空盒：C(n+m-1, m-1)
不允许空盒：C(n-1, m-1)（隔板法）
④ 球不可区分，盒不可区分
整数拆分问题
允许空盒：p(n, ≤m)
不允许空盒：p(n, =m)

条件概率

条件概率公式

P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
• P(A|B)：在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率
• P(A∩B)：事件 A 和 B 同时发生的概率
• P(B)：事件 B 发生的概率（P(B) > 0）
🏥

疾病检测问题

某种疾病的患病率为 1%，检测的准确率为 95%（真阳性率和真阴性率都是 95%）

❓ 问题

如果检测结果为阳性，实际患病的概率是多少？

📋 已知

P(病) = 0.01, P(阳性|病) = 0.95, P(阴性|健康) = 0.95

🎯 求

P(病|阳性) = ?

📝 解题步骤
1

P(阳性) = P(阳性|病)×P(病) + P(阳性|健康)×P(健康)

2

P(阳性) = 0.95×0.01 + 0.05×0.99 = 0.0095 + 0.0495 = 0.059

3

P(病|阳性) = P(阳性|病)×P(病) / P(阳性)

4

P(病|阳性) = 0.95×0.01 / 0.059 ≈ 0.161 = 16.1%

✅ 答案
约 16.1%
💡 洞察

尽管检测准确率高达 95%，但由于患病率很低，阳性结果中真正患病的比例只有 16.1%。这说明在低发病率情况下，即使检测准确，假阳性的影响仍然很大。

🔬 贝叶斯定理

P(A|B) = [P(B|A) × P(A)] / P(B)
贝叶斯定理是条件概率的重要应用，用于"逆向推理"：
  • P(A)：先验概率（事件 A 发生的初始概率）
  • P(B|A)：似然概率（在 A 发生条件下 B 的概率）
  • P(A|B)：后验概率（在 B 发生条件下 A 的概率）
  • P(B)：全概率（通过全概率公式计算）
全概率公式：
P(B) = P(B|A₁)P(A₁) + P(B|A₂)P(A₂) + ... + P(B|Aₙ)P(Aₙ)

💡 重要概念与方法

核心概念

样本空间 Ω

随机试验所有可能结果的集合

基本事件

样本空间中的单个结果，不可再分

随机事件 A

样本空间的子集，由若干基本事件组成

条件概率

P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，限定条件下的概率

计数方法

排列 Aₙᵐ

从n个不同元素中取m个按顺序排列
Aₙᵐ = n!/(n-m)!

组合 Cₙᵐ

从n个不同元素中取m个，不考虑顺序
Cₙᵐ = n!/(m!(n-m)!)

隔板法

将n个相同物品分成m组：C(n-1, m-1)
允许空组：C(n+m-1, m-1)

第二类斯特林数

S(n,k)：将n个不同元素分成k个非空子集
递推：S(n,k) = kS(n-1,k) + S(n-1,k-1)

🎯 解题策略

步骤一：识别模型
  • 确定是否为古典概型（有限、等可能）
  • 识别问题类型：取数、摸球、分配等
  • 明确是否有放回、是否考虑顺序
步骤二：计算空间
  • 确定样本空间的大小 n(Ω)
  • 选择合适的计数方法
  • 注意可区分性和限制条件
步骤三：计算事件
  • 找出符合条件的基本事件数 n(A)
  • 复杂条件可用补集或分类讨论
  • 条件概率要限定样本空间
步骤四：求解概率
  • 应用公式 P(A) = n(A) / n(Ω)
  • 化简分数，检验结果合理性
  • 0 ≤ P(A) ≤ 1