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三角函数

三角函数：从几何到分析的桥梁

三角函数是数学中最重要的函数之一，起源于古代对天文和测量的需求。 它们不仅是几何学的基础工具，更是描述周期性现象、波动和振动的数学语言。 从简单的直角三角形到复杂的傅里叶分析，三角函数在物理、工程、信号处理等领域发挥着不可替代的作用。

📐
几何意义
单位圆上的坐标投影
🌊
周期性
描述振动、波动现象
🔄
恒等变换
丰富的恒等式体系

单位圆与三角函数

(0.71, 0.71)半径 r=1sin θcos θ45°
0°90°180°270°360°
sin θ
0.7071
cos θ
0.7071
tan θ
1.0000
cot θ
1.0000
sec θ
1.4142
csc θ
1.4142

三角函数图像

-2π-1π01π2π-2-112

当前函数性质

振幅
1.0
周期
2π/1.0
初相
0.00π
值域
[-1, 1]

特殊角三角函数值表

角度 (°)弧度 (rad)sin θcos θtan θ
0°0010
30°π/61/2√3/2√3/3
45°π/4√2/2√2/21
60°π/3√3/21/2√3
90°π/210∞
120°2π/3√3/2-1/2-√3
135°3π/4√2/2-√2/2-1
150°5π/61/2-√3/2-√3/3
180°π0-10
270°3π/2-10∞
360°2π010

记忆技巧

① 正弦值规律：
sin 0° = √0/2, sin 30° = √1/2, sin 45° = √2/2, sin 60° = √3/2, sin 90° = √4/2
② 余弦值规律：
cos 值与 sin 值顺序相反（从 90° 开始往回）
③ 正切值：
tan θ = sin θ / cos θ，记住 30°、45°、60° 即可推导其他

三角恒等式

📐

基本关系

平方关系
sin²θ + cos²θ = 1
商数关系
tan θ = sin θ / cos θ
倒数关系
csc θ = 1/sin θ, sec θ = 1/cos θ, cot θ = 1/tan θ
平方关系2
1 + tan²θ = sec²θ
平方关系3
1 + cot²θ = csc²θ
➕

和差公式

sin和
sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β
cos和
cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
tan和
tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α tan β)
✖️

二倍角公式

sin 2α
sin 2α = 2 sin α cos α
cos 2α (1)
cos 2α = cos²α - sin²α
cos 2α (2)
cos 2α = 2cos²α - 1
cos 2α (3)
cos 2α = 1 - 2sin²α
tan 2α
tan 2α = 2tan α / (1 - tan²α)
➗

半角公式

sin α/2
sin²(α/2) = (1 - cos α) / 2
cos α/2
cos²(α/2) = (1 + cos α) / 2
tan α/2 (1)
tan(α/2) = (1 - cos α) / sin α
tan α/2 (2)
tan(α/2) = sin α / (1 + cos α)
🔄

积化和差

sin·cos
sin α cos β = [sin(α+β) + sin(α-β)] / 2
cos·sin
cos α sin β = [sin(α+β) - sin(α-β)] / 2
cos·cos
cos α cos β = [cos(α+β) + cos(α-β)] / 2
sin·sin
sin α sin β = -[cos(α+β) - cos(α-β)] / 2
🔀

和差化积

sin+sin
sin α + sin β = 2 sin[(α+β)/2] cos[(α-β)/2]
sin-sin
sin α - sin β = 2 cos[(α+β)/2] sin[(α-β)/2]
cos+cos
cos α + cos β = 2 cos[(α+β)/2] cos[(α-β)/2]
cos-cos
cos α - cos β = -2 sin[(α+β)/2] sin[(α-β)/2]

实际应用

🏔️

测量高度

利用三角函数测量高楼、山峰等高度

📝 问题

在离建筑物50米的地方，测得建筑物顶端的仰角为30°，求建筑物高度

📊 已知条件
水平距离 d = 50m，仰角 α = 30°
📐 使用公式
tan α = h / d
🔢 计算过程
h = d × tan 30° = 50 × (√3/3) ≈ 28.87m
✅ 答案

建筑物高度约为 28.87 米

💡 学习要点与技巧

核心概念

① 单位圆定义

理解三角函数在单位圆上的几何意义，这是所有三角知识的基础

② 周期性质

sin、cos 周期为 2π，tan 周期为 π，掌握周期性可简化计算

③ 对称性

奇偶性、诱导公式体现了三角函数的对称美

④ 恒等变换

熟练掌握和差、倍角、半角公式，是解题的关键

学习技巧

记忆特殊角

用 √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2 记忆 0°-90° 的正弦值

图像记忆

通过单位圆和函数图像理解性质，比死记硬背更有效

公式推导

理解公式的推导过程，而非单纯记忆公式

联系实际

在物理、工程问题中应用三角函数，加深理解

⚠️ 常见误区

❌ 角度与弧度混淆

计算时要注意单位，sin(30) ≠ sin(30°)，在编程中通常使用弧度

❌ 周期理解错误

y = sin(2x) 的周期是 π 而不是 2π，要注意频率对周期的影响

❌ 象限符号错误

要熟记各象限内三角函数的正负，"一全正、二正弦、三正切、四余弦"

❌ 恒等式误用

sin(α+β) ≠ sin α + sin β，要正确使用和差公式