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三角函数的伸缩与平移
通过调节振幅、角频率、初相与纵向平移，直观感受 y = A·f(ωx + φ) + b 的图形变化规律
y = sin(x)
参数调节
1
-55
1
18
0
-66
0
-55
显示基准函数 (虚线)
函数图像
当前函数基准函数
函数属性
振幅|A| = 1
周期T = 6.2832
角频率ω = 1
初相φ = 0
相移-φ/ω = 0
纵移b = 0
最大值1
最小值-1
📖 变换规律总结
↕振幅 A —— 纵向伸缩
- •|A| > 1：图像纵向拉伸
- •0 < |A| < 1：图像纵向压缩
- •A < 0：图像关于 x 轴翻转
- •最大值 = b + |A|，最小值 = b - |A|
↔角频率 ω —— 横向伸缩
- •ω > 1：图像横向压缩（周期变短）
- •0 < ω < 1：图像横向拉伸（周期变长）
- •周期 T = 2π / |ω|
- •ω 越大，单位长度内波形越多
⟵⟶初相 φ —— 水平平移
- •φ > 0：图像向左平移 φ/ω
- •φ < 0：图像向右平移 |φ|/ω
- •即图像整体沿 x 轴移动 -φ/ω
- •不改变形状与振幅
⬆⬇纵移 b —— 竖直平移
- •b > 0：图像整体上移 b 个单位
- •b < 0：图像整体下移 |b| 个单位
- •对称轴（中线）变为 y = b
- •不改变振幅与周期
🔄 从 y = sin x 到 y = A·sin(ωx + φ) + b 的变换步骤
- 1横向伸缩：将 y = sin x 各点横坐标变为原来的 1/|ω| 倍（纵坐标不变），得 y = sin(ωx)
- 2水平平移：将 y = sin(ωx) 向左平移 φ/ω 个单位（φ > 0 左移，φ < 0 右移），得 y = sin(ωx + φ)
- 3纵向伸缩：将 y = sin(ωx + φ) 各点纵坐标变为原来的 |A| 倍（A < 0 时还翻转），得 y = A·sin(ωx + φ)
- 4竖直平移：将 y = A·sin(ωx + φ) 整体上移 b 个单位，得 y = A·sin(ωx + φ) + b